20｜관계 대수·관계 해석·관계 연산자

관계형 데이터베이스에서는 릴레이션에 저장된 모든 데이터를 그대로 사용하는 것이 아니라, 필요한 행과 열을 고르고 여러 릴레이션을 결합하여 질의에 맞는 새로운 릴레이션을 만듭니다. 이러한 데이터 조작의 이론적 기반이 관계 대수와 관계 해석입니다.

이 장에서는 관계 대수와 관계 해석의 차이를 먼저 구분하고, 관계 대수 연산자인 선택·추출·결합·나누기의 의미와 사용 방법을 살펴봅니다. 이어서 합집합·교집합·차집합·교차곱의 조건과 결과, 교차곱에서 차수와 카디널리티를 계산하는 방법을 정리합니다.

관계 대수와 관계 해석은 무엇이 다른가?

관계 대수(Relational Algebra)와 관계 해석(Relational Calculus)은 모두 관계형 데이터베이스에서 원하는 정보를 표현하는 형식 질의 언어입니다. 두 방식은 같은 종류의 질의를 표현할 수 있지만, 질의를 작성하는 관점이 다릅니다.

비교 항목	관계 대수	관계 해석
영문	Relational Algebra	Relational Calculus
기본 관점	어떤 연산을 어떤 순서로 수행할 것인가	어떤 조건을 만족하는 정보가 필요한가
성격	절차적·연산적	비절차적·선언적
표현 방법	선택·추출·결합 등의 연산자 조합	논리식·조건·정량자 사용
주요 활용	질의 처리와 실행 계획의 내부 표현	사용자가 원하는 결과 조건의 표현

관계 해석에는 어떤 종류가 있는가?

관계 해석은 변수의 대상에 따라 튜플 관계 해석과 도메인 관계 해석으로 구분합니다. 두 방식 모두 비교 연산자, 논리 연산자와 정량자를 이용하여 원하는 결과를 정의합니다.

구분	튜플 관계 해석	도메인 관계 해석
영문	Tuple Relational Calculus	Domain Relational Calculus
변수의 대상	릴레이션의 튜플 전체	각 속성의 도메인 값
변수 의미	한 행을 나타내는 튜플 변수	하나의 속성값을 나타내는 도메인 변수
유사한 질의 방식	SQL과 비교하기 쉬움	QBE와 비교하기 쉬움

관계 해석의 정량자

기호	명칭	의미
∀	전칭 정량자 Universal Quantifier	모든 대상에 대하여 조건이 성립함
∃	존재 정량자 Existential Quantifier	조건을 만족하는 대상이 하나 이상 존재함

관계 대수 연산자는 어떻게 분류하는가?

관계 대수 연산자는 순수 관계 연산자와 일반 집합 연산자로 구분하는 경우가 많습니다. 순수 관계 연산자는 릴레이션의 행·열·관계를 직접 조작하며, 일반 집합 연산자는 수학의 집합 연산을 릴레이션에 적용합니다.

구분	연산자	기호	핵심 기능
순수 관계 연산자	선택 Select	σ	조건을 만족하는 행 선택
	추출 Project	π	필요한 열 선택
	결합 Join	⋈	관련된 두 릴레이션 연결
	나누기 Division	÷	모든 조건을 만족하는 값 검색
일반 집합 연산자	합집합 Union	∪	두 릴레이션의 튜플을 합침
	교집합 Intersection	∩	두 릴레이션에 공통된 튜플 검색
	차집합 Difference	−	첫 번째 릴레이션에만 있는 튜플 검색
	교차곱 Cartesian Product	×	두 릴레이션의 모든 튜플 조합 생성

선택 연산자는 행을 어떻게 고르는가?

선택(Select)은 릴레이션의 튜플 가운데 주어진 조건을 만족하는 행만 선택하는 연산입니다. 릴레이션을 수평 방향으로 일부 잘라 내는 것과 같으므로 수평적 연산이라고도 합니다.

다음 학생 릴레이션에서 학과가 전자과인 학생을 선택해 보겠습니다.

학번	이름	학과	졸업연도
b101	박수준	국문과	2025
c101	김희영	전자과	2026
c103	두옥이	전자과	2027
d101	면처리	영문과	2028

학번	이름	학과	졸업연도
c101	김희영	전자과	2026
c103	두옥이	전자과	2027

추출 연산자는 열을 어떻게 고르는가?

추출(Project 또는 Projection)은 릴레이션에서 필요한 속성만 선택하는 연산입니다. 열을 수직 방향으로 선택하므로 수직적 연산이라고도 하며, 연산 기호로 파이(π)를 사용합니다.

앞의 학생 릴레이션에서 학번과 이름 속성만 추출하면 다음과 같은 결과가 만들어집니다.

학번	이름
b101	박수준
c101	김희영
c103	두옥이
d101	면처리

• 선택한 속성만 결과 릴레이션에 남습니다.
• 결과 릴레이션의 차수는 선택한 속성의 수가 됩니다.
• 고전적인 관계 대수는 집합을 기반으로 하므로 같은 결과 튜플은 중복을 제거합니다.
• 열만 줄이더라도 중복 제거에 따라 카디널리티가 감소할 수 있습니다.

결합 연산자는 두 릴레이션을 어떻게 연결하는가?

결합(Join)은 두 릴레이션에서 서로 관련된 튜플을 연결하여 하나의 새로운 릴레이션을 만드는 연산입니다. 일반적으로 공통 속성이나 지정한 결합 조건을 기준으로 튜플을 대응시킵니다.

학생 릴레이션에는 학과코드가 저장되어 있고, 학과 릴레이션에는 학과코드별 학과명과 사무실이 저장되어 있다고 가정합니다. 두 릴레이션을 학과코드로 자연 결합하면 공통 속성값이 같은 튜플끼리 연결되고, 공통 속성인 학과코드는 결과에서 한 번만 나타납니다.

학번	이름	학과코드	학과명	사무실
S001	김민수	D01	전자과	공학관 201호
S002	이지연	D02	국문과	인문관 301호
S003	박준호	D01	전자과	공학관 201호

결합 종류	의미	결과의 공통 속성
세타 결합 Theta Join	=, <, > 등의 일반 비교 조건으로 결합	두 릴레이션의 속성을 모두 유지
동등 결합 Equi Join	동등 비교 조건만 사용하는 세타 결합	동일한 결합 속성이 두 번 남을 수 있음
자연 결합 Natural Join	이름이 같은 공통 속성의 값이 같은 튜플을 결합	공통 속성을 한 번만 남김

나누기 연산자는 어떤 값을 검색하는가?

나누기(Division)는 ‘주어진 모든 조건을 만족하는 대상’을 검색하는 연산입니다. 나누어지는 릴레이션을 R(X, Y), 나누는 릴레이션을 S(Y)라고 하면, R ÷ S는 S에 있는 모든 Y값과 관계를 가지는 X값을 반환합니다.

학생ID(결과)
S001
S002

필수과목 C101과 C102를 모두 수강한 학생은 S001과 S002입니다. S003은 C102는 수강했지만 C101을 수강하지 않았으므로 결과에서 제외됩니다.

• 나누는 릴레이션 S의 속성은 나누어지는 릴레이션 R의 속성에 포함되어야 합니다.
• 결과에는 R에만 있고 S에는 없는 속성이 남습니다.
• ‘모든’, ‘전부’, ‘각각 모두’라는 표현이 있는 질의에서 나누기 연산을 검토합니다.

합집합·교집합·차집합에는 어떤 조건이 필요한가?

합집합·교집합·차집합은 두 릴레이션을 집합처럼 처리하는 이항 연산입니다. 이 세 연산을 수행하려면 두 릴레이션이 합병 가능해야 합니다.

연산	기호	결과	의미
합집합	R ∪ S	S001, S002, S003, S004	R 또는 S에 포함된 모든 튜플
교집합	R ∩ S	S002, S003	R과 S에 공통으로 포함된 튜플
차집합	R − S	S001	R에는 있지만 S에는 없는 튜플
반대 방향 차집합	S − R	S004	S에는 있지만 R에는 없는 튜플

교차곱은 차수와 카디널리티를 어떻게 계산하는가?

교차곱(Cartesian Product)은 첫 번째 릴레이션의 각 튜플과 두 번째 릴레이션의 각 튜플을 모두 조합하여 새로운 릴레이션을 만드는 연산입니다.

릴레이션 R의 튜플 하나마다 릴레이션 S의 모든 튜플이 연결되므로 결과 튜플 수는 두 릴레이션의 카디널리티를 곱한 값입니다. 결과 속성에는 두 릴레이션의 모든 속성이 포함되므로 차수는 두 차수의 합입니다. 교차곱에서는 한쪽 릴레이션의 모든 행이 다른 쪽 릴레이션의 모든 행과 조합되기 때문에 차수는 합으로, 카디널리티는 곱으로 계산됩니다.

두 릴레이션에 같은 이름의 속성이 있으면 결과 속성을 구분하기 위해 릴레이션 이름을 함께 표시하거나 이름 변경 연산자 ρ를 사용할 수 있습니다.

릴레이션 R의 차수가 4이고 카디널리티가 5이며, 릴레이션 S의 차수가 6이고 카디널리티가 7이라고 가정합니다.

구분	릴레이션 R	릴레이션 S	R × S의 결과
차수	4	6	4 + 6 = 10
카디널리티	5	7	5 × 7 = 35

연산자에 따라 차수와 카디널리티는 어떻게 달라지는가?

연산자	차수의 변화	카디널리티의 변화	핵심 기준
선택 σ	입력과 같음	입력보다 작거나 같음	행 조건
추출 π	선택한 속성 수로 감소 가능	중복 제거로 감소 가능	열 목록
결합 ⋈	결합 종류와 공통 속성에 따라 결정	결합 조건에 따라 달라짐	관련 속성 또는 조건
나누기 ÷	나누어지는 릴레이션에서 나누는 릴레이션의 속성을 제외	모든 조건을 만족한 튜플 수	전칭 조건
합집합 ∪	입력과 같음	중복을 제외한 두 집합의 합	합병 가능
교집합 ∩	입력과 같음	공통 튜플 수	합병 가능
차집합 −	입력과 같음	첫 번째 릴레이션에만 있는 튜플 수	합병 가능·방향 중요
교차곱 ×	두 차수의 합	두 카디널리티의 곱	모든 튜플 조합

시험에서 자주 혼동되는 개념

이번 장 핵심 요약

1. 관계 대수는 릴레이션에 수행할 연산과 순서를 표현하는 절차적·연산적 방법입니다.
2. 관계 해석은 원하는 정보가 만족해야 할 조건을 정의하는 비절차적·선언적 방법입니다.
3. 튜플 관계 해석은 튜플 변수를, 도메인 관계 해석은 속성값 변수를 사용합니다.
4. ∀는 모든 대상에 대하여, ∃는 하나 이상의 대상이 존재함을 의미합니다.
5. 선택은 σ를 사용하여 조건을 만족하는 행을 선택합니다.
6. 추출은 π를 사용하여 필요한 열을 선택합니다.
7. 자연 결합은 공통 속성값이 같은 튜플을 연결하고 공통 속성을 한 번만 남깁니다.
8. 나누기는 나누는 릴레이션의 모든 튜플과 관계를 가지는 값을 구합니다.
9. 합집합·교집합·차집합에는 합병 가능 조건이 필요합니다.
10. 차집합은 연산 순서에 따라 결과가 달라집니다.
11. 교차곱은 두 릴레이션의 모든 튜플 조합을 생성합니다.
12. 교차곱의 차수는 두 차수의 합이고 카디널리티는 두 카디널리티의 곱입니다.

복습 문제

원하는 결과를 구하기 위해 수행할 연산과 순서를 표현하는 방법은?

관계 대수입니다.

원하는 정보가 만족해야 할 조건만 정의하는 비절차적 방법은?

관계 해석입니다.

릴레이션에서 조건을 만족하는 행을 선택하는 연산자는?

선택 연산자이며 기호는 σ입니다.

릴레이션에서 필요한 열을 선택하는 연산자는?

추출 연산자이며 기호는 π입니다.

두 릴레이션의 관련된 튜플을 공통 속성이나 조건으로 연결하는 연산자는?

결합 연산자이며 기호는 ⋈입니다.

주어진 모든 조건을 만족하는 대상을 구할 때 사용하는 연산자는?

나누기 연산자이며 기호는 ÷입니다.

합집합·교집합·차집합을 수행하기 위한 공통 조건은?

두 릴레이션의 차수가 같고 대응하는 속성의 도메인이 호환되는 합병 가능 조건을 만족해야 합니다.

두 릴레이션의 모든 튜플 조합을 만드는 연산자는?

교차곱입니다.

차수가 4와 6인 두 릴레이션을 교차곱하면 결과 차수는?

4+6이므로 10입니다.

카디널리티가 5와 7인 두 릴레이션을 교차곱하면 결과 카디널리티는?

5×7이므로 35입니다.

R − S와 S − R의 결과는 항상 같은가?

같지 않습니다. 차집합은 첫 번째 릴레이션을 기준으로 하므로 연산 순서에 따라 결과가 달라집니다.

‘모든 필수과목을 수강한 학생’을 찾는 데 적합한 관계 연산자는?

나누기 연산자입니다.